3. Lineare Ordnung und Abzählbarkeit

 

   I.  Der Umgang mit Nicht-Periodisch-Unendlichem bedarf in jedem Fall der Einzelanalyse. Es ist immer erst nachzuweisen, daß eine bestimmte Zahl auch von einer nicht-periodisch unendlichen Bruchentwicklung ist. Dieser Nachweis kann in keinem Fall anhand dieser Bruchentwicklung selbst geführt werden, einfach weil so eine Bruchentwicklung explizit-materiell nie auch vollständig präsent sein kann. Die Identifizierung derjenigen Zahl, um die es geht – schließlich muß auch geklärt sein, wovon die Rede ist, bevor in irgendwelche Überlegungen eingetreten werden kann –  hat dementsprechend  anderweitig zu erfolgen. Geschehen kann so etwas entweder per definierender Eigenschaft, so wie bei Quadratwurzel 2: , oder in Folgen- bzw. – vor allem – Reihendarstellung wie bei der Eulerschen Zahl e: . Das sind dann alles allerdings auch nur Einzelexemplare von irrationalen Zahlen, also Zahlen von einer nicht-periodisch unendlichen Bruchentwicklung, wobei das mit dieser Art von Bruchentwicklung in jedem einzelnen Fall immer auch erst nachzuweisen ist. Die – verschiedenen – Darstellungen sind diesbezüglich für sich genommen alle nichtssagend. 

Man kann Quadratwurzeln natürlich auch – gleich – von einer ganzen – unendlichen – Menge nehmen (lassen). Was im Ergebnis dann alles an nicht-periodisch Unendlichem herauskommt, wissen wir dabei aber auch nicht gleich. Dazu bedürfte es wieder der Einzelanalyse, die als Analyse in der Zeit – es gibt für so etwas kein (dann zwangsläufig auch zeitloses Verfahren), das uns diese Arbeit abnehmen könnte, wie es auch kein Verfahren gibt, das uns sagen könnte, wie so eine Analyse im Einzelfall auszusehen hätte – auf Endliches, also endlich viele Elemente beschränkt bliebe. Wir werden auf diesem Wege nicht überprüfen können, ob eine solcherart im Paket behandelte – unendliche – Menge auch unendlich viele irrationale Zahlen enthält. Da tappen wir zwangsläufig im Dunkeln.

Es wird in der Mathematik  in dieser Richtung auch nicht gearbeitet. Es gibt keine Untersuchungen darüber, zu welchen Verschiebungen zwischen Zahlbereichen bestimmte mathematische Operationen führen. Auch diesbezüglich wird man über Einzeluntersuchungen nicht hinauskommen.  Allgemein läßt sich dazu wenig sagen. Feststeht, daß man „regulär“-operativ, und d. h. – wenn man so will – im Medium der  grenzwertfreien Analysis nicht über Abzählbares hinauskommt. So etwas bleibt – allenfalls  – Grenzwertübergängen vorbehalten. Da findet einfach ein Qualitätssprung statt. Nur auf diese Weise wird man sich von geordneten, prinzipiell auch rekonstruierbaren Verhältnissen lösen können.

Es geht in der Kontinuumshypothese um Mengen, die den Bereich nicht-periodisch unendlicher Brüche nicht vollständig, aber doch so weit ausschöpfen, daß im Ergebnis eine nicht-abzählbare Menge vorliegt. Zugleich darf diese Menge auch nicht numerisch äquivalent zu den reellen Zahlen, also der Gesamtheit aller möglichen endlichen oder unendlichen – ob nun periodisch oder nicht-periodisch  – Brüche sein. Die Kontinuumshypothese impliziert insofern auch, daß sich das diese Hypothese entscheidende Geschehen innerhalb der Menge nicht-periodisch unendlicher Zeichenfolgen abspielt oder eben nicht abspielt. Bei einer statischen Betrachtungs-weise, und d. h. einer Betrachtungsweise, die nicht auf das Verfahren zur Produktion einer (Zeichen-)menge sieht, sondern diese Menge einfach als gegeben voraussetzt, ist das natürlicherweise so bzw. erübrigen sich diesbezüglich irgendwelche Differenzierungen.

Wird nicht auf eine Menge als Ganzes gesehen, dann kann es sich nur um Teilmengen dieser Menge handeln. Aus der dynamischen, und d. h. produktionsbezogenen Perspektive betrachtet, kann sich so ein „Szenenwechsel“ in einem unendlichen Verfahren, und d. h. in einem Verfahren mit Grenzübergangscharakter erst am Ende bzw. mit dem Ende des Verfahrens einstellen. Irgendwelche Zwischenergebnisse lassen sich dann auch nicht feststellen. In seiner Gesamtheit gibt es Nicht-Periodisch-Unendliches nur im – grenzwertweisen – abschließenden Vollzug des Verfahrens zur Produktion der natürlichen Zahlen. Das würde a priori nicht schon auch ausschließen, daß es davon  nicht auch nicht-abzählbare Teilmengen geben könnte. So könnte etwa daran gedacht werden, daraus Elemente von einer ganz bestimmten Entwicklung bzw. auch Zahlen mit einer ganz bestimmten Eigenschaft auszusondern. Das Problem dabei wäre allerdings dies, daß man keiner Zahl a priori auch schon die Nicht-Periodizität ihrer b-al-Bruchentwicklung ansehen könnte. Dazu bedarf es immer erst auch eines aufwendigen Beweises. Für die Kontinuumshypothese ist das – primär – nicht von Bedeutung.

Fest steht allerdings schon auch, daß sich das Entscheidende – an – dieser Hypothese innerhalb von Nicht-Periodisch-Unendlichem abspielt. Periodisches ist Abzählbar. Das ist insofern eine Kategorie, die ruhig in einer der Bedingung der Kontinuumshypothese genügenden Menge enthalten sein darf. So eine Teilmenge könnte auf jeden Fall schon einmal abgezählt werden. Man sollte dabei allerdings schon auch sehen, daß die Frage der Abzählbarkeit oder Nicht-Abzählbarkeit einer Menge eine Frage der Bijektivität dieser Menge mit der Menge der natürlichen Zahlen ist. Mit dem – unendlichen – Umfang einer Menge als solchem hat das – zunächst – nichts zu tun. Nicht-Abzählbarkeit – oder wie man auch sagt Über-Abzählbarkeit – einer Menge liegt vor, wenn es keine Bijektion zwischen den natürlichen Zahlen und dieser Menge gibt. Die Mathematik ist in diesen Dingen allerdings etwas bescheidener. Es reicht dieser bereits, wenn sich die abzuzählende Menge diskret in eine Reihenfolge bringen läßt, so wie wir das auch bezüglich der rationalen Zahlen haben. Dann kann man – so die dieser Philosophie zugrunde liegende Vorstellung –  so eine Menge auch Element für Element „durchgehen“.

Bestimmt ist diese Philosophie dabei ganz von der Vorstellung des Abzählens. Da wird auch eine Menge Element für Element durchgegangen, und dabei mit jeweils einer natürlichen Zahl entsprechend der Reihenfolge dieser Zahlen bedacht. Einer eigenen Abbildung für dieses Abzählgeschehen bedarf es dieser Lesart zufolge dann anscheinend nicht mehr, obwohl die mathematische Definition danach verlangt. Man sollte sich dabei wirklich auch an die Vorgaben halten. Mit Abbildung hat so etwas – bei unendlichen Dingen zumal – nämlich allenfalls nur noch am Rande zu tun. Lineare Ordnung allein begründet in diesem strengen mathematischen Sinne auch bei diskreter Anordnung noch keine Abzählbarkeit. Da bedarf es dann einfach der Abbildungsvorschrift, und so eine Vorschrift ist auch implizite durch eine bloße Reihenordnung noch nicht gegeben. Dabei handelt es sich im weiteren Sinne bestenfalls um eine implizite Form von Abbildungsvorschrift.

Bei  der mathematischen Definition von Abzählbarkeit haben wir es mit einer ganz anderen Qualität von Bedingung zu tun. Reihenordnung, die nicht auf einer Abbildung beruht,  ist keine mathematische Kategorie. Geometrische Verfahren, die uns sagen, wie sich eine Menge „auf Linie2 bringen läßt, zählen im strengen und engen mathematischen Sinne deswegen auch nicht ab. Diesbezüglich ist die Lehrbuch-Mathematik ziemlich nachlässig. Auf die von der Definition geforderte Abbildung wird dabei einfach nicht geachtet. Bemerkenswert ist das deswegen, weil es so eine Abbildung im allgemeinen auch nicht gibt, und die betreffende Menge insofern auch nicht abzählbar im mathematischen Sinne ist. Das ganze Thema wird  in der Analysis einfach nicht mit der nötigen Sorgfalt und Aufgeschlossenheit behandelt.

Die Mathematik wird dabei einfach Unendlichem nicht gerecht. Unendliches sieht sich so auch nur „verendlicht“. Die Vorstellung dabei ist die eines prozessualen, sich immer weiter fortschreibenden Unendlich-Endlichen.  Das ist eine ganz mindere Form der Vorstellung von Unendlichem. Es handelt sich dabei allenfalls um eine Eigenschaft von Unendlichem, keineswegs aber um eine Beschreibung des Wesens von Unendlichkeit. Es geht dabei – entscheidend – um den finalen, Unendliches letztlich begründenden Abschluß von Unendlichkeit. Das prozessuale, nicht endende Geschehen zuvor ist dabei nicht entscheidend, auch wenn es eine notwendige Bedingung der Möglichkeit von Unendlichkeit ist. Das Prozessuale läßt sich nicht vom Finalen trennen. Prozessual Unendliches gibt es nur gegen final Unendliches, und final Unendliches setzt prozessual Unendliches voraus. Dementsprechend sollte man dann aber im Umgang mit Unendlichkeit auch beides sehen. Die Beschränkung auf das prozessuale Geschehen allein verstellt uns den Blick auf das, was Unendliches eigentlich ausmacht.

Die Unendlichkeit – in – der Mathematik ist die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen. Von dieser Zahlenmenge leitet sich der Unendlichkeitsbegriff in der Mathematik ab. An – echter – unendlicher Menge gibt es nur die Menge der natürlichen Zahlen. Auf die Idee, sich in der Definition von Unendlichem eines – des – Strichchen-Modells, in dem man jede natürliche Zahl aus einer bestimmten Anzahl von – gleichen – Strichen besteht, zu bedienen, kommt in der klassischen Analysis offenbar niemand. Warum ist das eigentlich so? wenn es um die Entwicklung irgendwelcher Modellvorstellungen der natürlichen Zahlen geht, wird schließlich gerade auch auf so eine Konstruktion zurückgegriffen. Es liegt dies offenbar aber nicht daran, daß sich beide Systeme im Unendlichen deutlich voneinander unterscheiden. Dieses im Unendlichen deutlich unterschiedliche Verhaltens ist man sich in Mathematik und Philosophie offenbar nicht bewußt. Tatsächlich aber divergieren beide Systeme im Unendlichen, sie driften dort auseinander.

   II. Ein Verständnis von Abzählbarkeit, das nur auf – diskrete – lineare Anordnung setzt, beruht auf schwächeren Voraussetzungen als sie die klassische Definition zur Voraussetzung hat. Das macht vieles dann doch auch einfacher. In eine Reihenfolge gebracht läßt sich doch manches recht einfach denken, ohne daß wir dafür auch gleich die Abbildung hätten, die so eine Reihenfolge auch gleich abzählt. Das Problem dabei ist einfach dies, daß Abbildungen ihr Bild erst zu konstruieren haben, bevor darauf abgebildet werden kann bzw. – besser – um darauf – simultan gewissermaßen – auch abbilden zu können. Das ist eine ungleich schwierigere Aufgabe als wenn wir einfach nur eine Reihenfolge „durchzugehen“ hätten. Die Konstruktion einer Menge ist das eine; der Nachweis von deren – möglichen – Abzählbarkeit das andere. Die Definition bzw. Konstruktion von Mengen hat nicht auf Dinge wie Abzählbarkeit und dergleichen zu sehen. Das ist eine Frage der Eigenschaften so einer Menge. Man kann auf solche Eigenschaften schon bei der Konstruktion einer Menge sehen bzw. achten. Man kann dabei durchaus zielgerichtet vorgehen.

Das gilt so auch für Mengen, die der Kontinuumshypothese genügen könnten. Es wurde schon gesagt, daß wir uns dabei innerhalb der möglichen Teilmengen von Nicht-Periodisch-Unendlichem zu bewegen haben. Grundsätzlich können Mengen schon auch über Eigenschaften definiert sein, vorausgesetzt, es ist auch alles an Darstellungs- bzw. Produktionsfragen geklärt. Das gilt insbesondere für unendliche Mengen. Ohne Stoff und Verfahren, welche uns im Ergebnis genau so eine Menge vermitteln, geht in so einem Fall nichts. Eigenschaften allein, selbst wenn es sich dabei um keine widersprüchlichen Eigenschaften handelt, begründen nicht a priori schon auch Existenz. Im unendlichen Fall reicht es nicht auch schon, daß wir wissen, wie alle diese Elemente so einer Menge aussehen (sollen). Die natürlichen Zahlen gibt es auch schon nicht allein deswegen, weil wir wissen, was alles eine natürliche Zahl ist. Das Produktionsverfahren für die diese Zahlenmenge darstellende Folge von Zeichenfolgen ist für diese Menge essentiell. Ansonsten würde sich uns allenfalls ein punktueller Zugriff auf so eine Menge eröffnen, und das reicht nicht aus, um der Existenz einer solchen Menge als ganzer gewiß sein zu können.

Es lassen sich diesbezüglich schon eindeutige, notwendige wie zureichende Existenzkriterien aufstellen. Wir haben hier schon auch einen präzisen Existenzbegriff vorliegen. Wir brauchen zum einen den Stoff, und wir brauchen zum anderen das Verfahren, das diesen Stoff zu den Elementen so einer unendlichen Menge – selbsttätig – verarbeitet. Jede dieser beiden Bedingungen bzw. Voraussetzungen ist eine notwendige Bedingung bzw. Voraussetzung für Unendliches, und gemeinsam sind sie eine zureichende Bedingung resp. Voraussetzung für Unendliches. Wo und wann immer wir von Unendlichem reden, reden wir zwangsläufig immer auch von so einem Stoff, und vor allem von dem diesen Stoff zu Unendlichem verarbeitenden Verfahren.

In der Mathematik wird das im allgemeinen nicht „so eng“ gesehen. Was die natürlichen Zahlen anbelangt, so ist von dem diese Zahlen hervorbringenden Verfahren in der Mathematik überhaupt nicht die Rede. Die Existenz dieser Zahlen in ihrer ganzen Unendlichkeit ist für die Mathematik kein Thema. Diese Zahlen gibt es – einfach – so. Die werden einfach als gegeben angesehen. Ihre Darstellung finden alle diese Zahlen im Vollzug dieses Verfahrens als endliche Zeichenfolgen. Insofern ist jede dieser Zahlen auch in unserer reproduktiven Reichweite. Wir können jede einzelne dieser Zahlen explizit anschreiben, auch wenn das für große Zahlen doch recht aufwendig wäre. Daß jede solche Zahl nur von endlich vielen Zeichen dargestellt ist, setzt der Länge so einer Darstellung nach oben schließlich keine Grenze, auch wenn jede solche Darstellung ihr Ende hat. Das aber genügt, um so eine Zahl in endlicher Zeit auch anschreiben zu können. Wir können davon allerdings nur endlich viele anschreiben.

Natürlich können wir die natürlichen Zahlen in ihrer Gesamtheit nicht alle auch explizit-materiell reproduzieren. Wir können – nur – so tun, als ob sie alle auch – schon – vermerkt wären. Dazu brauchen wir uns das entsprechende Produktionsverfahren nur zur Gänze vollzogen denken. Das können wir, und dann können wir uns alle diese Zahlen auch als abschließend gesetzt denken. In diesem Sinne existieren diese Zahlen dann insgesamt alle auch. Sie existieren sicherlich nicht in der Form, daß diese Zahlen zur Gänze irgendwo aufgeschrieben sein könnten. So gesehen existieren diese Zahlen in ihrer Gesamtheit nur in unserem Denken. Dazu bedarf es schon aber auch der Existenz eines Verfahrens, das für uns tut, was wir selbst niemals tun könnten. Das gilt so aber auch nur bei Verfahren, in deren Vollzug explizit-materiell nichts bewegt zu werden hat. Die Existenz der einzelnen natürlichen Zahl ist nicht von ihrer materiellen Explikation abhängig. Es gibt so eine Zahl nicht deswegen, weil sie  irgendwo und irgendwann schon einmal in konkrete Materie gegossen worden wäre bzw. jederzeit eine solche Behandlung erfahren könnte.

Feststeht, daß diese Möglichkeit auch zur Existenz von Zahlen dazugehört. Zahlen gibt es nicht ohne Zahldarstellung, und Zahldarstellung ist immer auch für irgendwelche Materialisierungen bzw. – wenn man so will – Inkarnierungen gut. Natürlich sollen Zahlen auch angeschrieben werden können. Rechenmaschinen sind darauf auch angewiesen. Solche Maschinen können nicht – im – Kopfrechnen; vielleicht kommt das, was Maschinen tun, aber auch auf dasselbe hinaus. Auch in unserem Gehirn laufen beim Kopfrechnen natürlich materielle Prozesse ab. Zu sehen und spüren bekommen wir davon dabei allerdings nichts. Feststeht jedenfalls auch, daß die Existenz der ganzen Mathematik eine vom materiellen Universum unabhängige Existenz ist, wenn man einmal davon absieht, daß mathematische Praxis nur von dazu befähigten Geistern getätigt werden kann, und Geist schon auch seine materiellen Voraussetzungen hat.

Eigenschaft allein begründet – im unendlichen Fall – also nicht schon auch Existenz. Auf unendliche Mengen haben wir nie einfach nur den statischen Zugriff, wie etwa beispielsweise durch Angabe gewisser Eigenschaften. So ließen sich beispielsweise und insbesondere die natürlichen Zahlen als Menge aller endlicher Zeichenfolgen bestehend aus Zeichen einer vorgegebenen bzw. vorzugebenden endlichen Zeichenmenge – Wiederholungen möglich – definieren. Damit wäre aber die Existenz so einer Zahlen- resp. Zeichenfolgenmenge noch nicht nachgewiesen. Es müßte dann schon auch – allein schon auch der Vollständigkeit halber – gesagt werden (können), wie man zu allen diesen endlichen Zeichenfolgen auch kommt bzw. kommen kann. Es genügt dann nicht, wenn sich die Elemente so einer Menge im einzelnen alle herausgreifen lassen.

Eine Menge liegt vor, wenn sie in allen ihren Elementen auch präsent ist. Der punktuell mögliche Zugriff auf einzelne Elemente davon reicht dann nicht aus. Das Wissen darüber, wie alle diese Elemente aussehen und d. h. das Wissen darüber, was alles – dem System nach – Element dieser Menge ist, läßt uns der Existenz so einer Menge nicht zugleich auch schon gewiß sein. Wir können uns eine – unendliche – Menge vermöge einer bestimmten Eigenschaft der Elemente dieser Menge, die diese Menge eigentlich schon auch eindeutig bestimmt sein läßt,  nicht einfach nur denken. Das würde so allenfalls  nur unter der Voraussetzung funktionieren, daß wir eine Auswahl unter einer bereits gegebenen Menge zu treffen hätten. Das wäre jedenfalls eine notwendige – wenn vielleicht auch nicht schon zureichende – Voraussetzung für eine solches Vorgehen. Die Frage wäre dann immer noch die, wie die Auswahl getätigt bzw. vorgenommen wird.

Dabei geschieht etwas. Das ist schon auch ein Verfahren. Es wird ausgewählt bzw. ausgesondert. Wenn das auch ganz gezielt geschieht, einfach weil man es dabei auf bestimmte Elemente abgesehen hat, so zählt auch das Geschehen in diesem Fall unter die Verhältnisse, wie sie von dem Auswahlaxiom erfasst sind. Wenn man weiß, auf welche Vorbehalte dieses Axiom in der Mathematik stößt, dann kann man auch in diesem Fall nicht von einer völlig problemlosen Auswahl ausgehen. Es geht dabei insbesondere auch um die Auswahl im Gesamten. Es bedarf dazu immer auch einer linearen Ordnung. Ausgewählt werden kann immer nur Element für Element. Diese Elemente müssen einfach alle identifiziert sein bzw. werden.

In unserem Geiste geschieht so etwas simultan über das Denken der bloßen zureichenden Eigenschaft(-en), der die auszuwählenden Elemente zu genügen haben. Das ist wie gesagt bei den natürlichen Zahlen insgesamt auch nicht anders. In diesem Fall haben wir allerdings das Verfahren, das systematisch alle diese Zahlen bzw. die diese Zahlen darstellenden Zeichenfolgen auch hervorbringt. Sind wir allerdings nur an Teilmengen dieser Menge interessiert, dann liegt so ein – wenn man so will – Teilverfahren nicht immer auch vor. Es wird dann nur mit Eigenschaften gearbeitet. Man weiß dann im allgemeinen auch nicht, was so eine Menge alles an Elementen enthält. So läßt sich beispielsweise etwa die Menge der Logarithmen einer bestimmten Teilmenge der natürlichen Zahlen bilden. Das wären dann gewissermaßen aber schon Teilmengen zweiter Ordnung.

Es gibt diesbezüglich aber auch Teilmengen erster Ordnung. Man kann sich da alles Mögliche einfallen lassen. Man kann nach allen möglichen Teilmengen suchen. Man könnte nach Primzahlen von einer gewissen Eigenschaft fragen. Es gibt diesbezüglich gewisse Klassifizierungen. Das kann man immer auch noch weiter spezifizieren. Man kann nach gewissen Zerlegungseigenschaften fragen. Die Frage ist dann immer auch, ob es so etwas überhaupt auch gibt, und d. h. ob die betreffende Menge nicht die leere Menge ist. Solche ausgefallenen Dinge sind natürlich keine Kandidaten für Mengen, die der Kontinuumshypothese genügen sollen bzw. können. Hier ist nach einer nicht-abzählbaren Menge gefragt. Und das sind Mengen, die mächtiger als die Menge der natürlichen Zahlen sind. Das heißt nicht notwendig auch schon, daß jede nicht-abzählbare Menge die Menge der natürlichen Zahlen notwendig als Teilmenge enthalten müßte.

Im Gegensatz zu den rationalen Zahlen ist in der Menge der irrationalen Zahlen keine einzige natürliche Zahl vertreten. Das ist – definitionsgemäß – eine reine Komplementär-Menge in Bezug auf die reellen Zahlen zur Menge der rationalen Zahlen. Wir haben es dabei ausschließlich mit Nicht-Periodisch-Unendlichem zu tun. Das ist der einzige systematische Zugriff, der sich uns auf die Menge der irrationalen Zahlen bietet. Über eine andere – vollständige – Beschreibung dieser Zahlen vermittels irgendwelcher Eigenschaften oder sonstiger Klassifizierungen verfügen wir nicht. Wir könnten uns auf diese Weise nie sicher sein, ob wir alle diese Zahlen damit auch erfasst hätten. Und könnten wir es, diese Zahlenmenge würde sich notwendig als eine abzählbare Zahlenmenge erweisen. So könnten wir beispielsweise Logarithmen bilden. Die Bezugsmenge auf die wir uns dabei stützen, könnte auch nur eine abzählbare Menge sein.

Es geht in diesem Zusammenhang um einen konstruktiven Zugriff auf die irrationalen Zahlen bzw. – nicht-abzählbare – Teilmengen davon. Das wäre zumindest der eine Ansatz. Wir können – wie gesagt – eine Menge per abstrakter Eigenschaft zu definieren. So etwas hätte dann den Charakter eines Auswahlverfahrens. Gesucht würde dann einfach nach Zahlen mit einer ganz bestimmten Eigenschaft. An die Konstruktion bestimmter Zahlenmengen ist dabei nicht gedacht. Auch Darstellungsfragen bleiben bei so einem Vorgehen unberücksichtigt.

Mit dem Verfahren zur Darstellung der natürlichen Zahlen wird in der Mathematik allgemein nicht argumentiert. Die Frage wäre, ob man damit nicht auf eine mögliche, ergiebige Erkenntnisquelle verzichtet. Man könnte sich fragen, wie sich das alles, was man über die natürlichen – und andere – Zahlen weiß, im System der Darstellung dieser Zahlen niederschlägt. Zwangsläufig findet das dort alles auch seinen Niederschlag. Das spiegelt sich in diesem Verfahren notwendig wieder. Reste – wenn man so will – davon finden sich in – mehr oder weniger – bekannten Teilbarkeitsregeln. Da wird dann natürlich auf die einzelnen Zeichen bzw. – vorzugsweise – Endzeichengruppen gesehen. Aber auch so etwas wie Quersummen kommen dabei ins Spiel.

Bei Primzahlen ist das schon wieder anders. Die Eigenschaft einer Zahl, Primzahl zu sein, läßt sich nicht auf das Aussehen dieser Zahl zurückführen. Jedenfalls ist darüber bislang nichts bekannt. Dann könnte sich auch die Suche nach immer größeren Primzahlen nicht so schwierig gestalten. Wir hätten dann sozusagen auch das Konstruktionsverfahren für Primzahlen. Das gleiche gilt für Quadratzahlen. Das läßt ich auch nicht an den einzelnen Zeichenfolgen ablesen. Was irrationale Zahlen anbelangt, stellt sich das anders dar. Irrational heißt nicht-periodisch unendlich. Diese Zahlen verfügen über keine positive Charakterisierung. Damit kann man bezüglich Nicht-Periodisch-Unendlichem auch nicht dienen. Das ist einfach die vollkommene Irregularität, die uns dabei entgegentritt. Man kann deswegen mit dieser Eigenschaft auch nicht operativ oder „definitiv“ umgehen, ob nun aus der Menge aller dieser Zeichenfolgen resp. Zahlen ausgewählt werden soll, oder ob wir konstruktiv an diese Zahlen heranzugehen versuchen. Wir können diesbezüglich nicht auswählen, einfach weil dafür keine Kriterien zur Verfügung stehen. Aus dem mutatis mutandis gleichen Grund verschließt sich uns auch ein konstruktiver Zugang zu diesen Zahlen. Wir können nicht modifizierend in die Produktion solcher Folgen eingreifen. Wir könnten an solchen Folgen manipulieren. Über Abzählbares kämen wir dabei aber auch nicht hinaus, einfach weil das Regelwerk, dem wir dabei folgen – völlig unabhängig davon, wie diese Regeln aussehen – sicher für – nur – Abzählbares bürgt.

 

   III.  Aus Endlichem kann konstruktiv nichts Nicht-Abzählbares entstehen. Wie man dabei auch nach allen Regeln der Kunst kombiniert, im Ergebnis werden wir so nur zu Endlichem oder – allenfalls – Abzählbar-Unendlichem finden. Grenzwertverfahren bzw. –übergänge bleiben dabei schon ausgenommen. So etwas ist auch keine konstruktive Angelegenheit. Endlich viele Zeichen lassen sich maximal zu allen nur möglichen endlichen Zeichenkombinationen – Wiederholungen einzelner Zeichen in einer Zeichenfolge zugelassen – kombinieren. Das ist eine abzählbare Angelegenheit, vorausgesetzt wir produzieren diese Zeichenfolgen alle so, wie sie in der Reihenfolge der natürlichen Zahlen zu produzieren sind. Anders wäre das mit der linearen Ordnung dieser Zahlen bzw. deren systematischer Produktion schon schwierig. Bei Verwendung nur zweier Zeichen – der 0 und der 1 – hätten wir noch eine Alternative. Im Dezimalsystem würde das so nicht mehr funktionieren. Die Konsequenz daraus wäre die, daß die Menge der natürlichen Zahlen dann als eine nicht-abzählbare Menge zu gelten hätte. Es kommt dabei definitionsgemäß einfach entscheidend auf das Abzählverfahren an.

Als einer notwendigen  – aber keineswegs schon auch zureichende Voraussetzung, und das sei gegen die Praxis in den Lehrbüchern gesagt – Voraussetzung bedarf es dazu einer linearen Ordnung in so einer Zahlenmenge. Nur dann besteht auch die Möglichkeit, daß so eine Menge abgezählt werden kann. Zureichend ist diese Voraussetzung – wie gesagt – nach der förmlichen Abzählbarkeitsdefiniton allerdings noch nicht. Das Phänomen Abzählbarkeit zielt also nicht primär auf den Umfang einer Menge; angesprochen ist damit primär vielmehr das potentielle lineare Ordnungsgefüge so einer Menge. Daran entscheidet sich die Abzählbarkeitsfrage im Einzelfall. Es sollte dann aber schon auch eine Abbildung angegeben werden können, die diese lineare Ordnung auch Element für Element abzählt.

Lineare Ordnung allein tut es der Abzählbarkeitsdefinition zufolge – noch – nicht. Es könnte dieser Definition zufolge also sein, daß eine Menge als nicht-abzählbar anzusehen ist, einfach weil es uns nicht gelingt, die Elemente dieser Menge in eine Reihenfolge zu bringen und diese Reihenfolge von den natürlichen Zahlen auch abzählen zu lassen. Dieser letzte, zweite Aspekt ist deswegen von besonderer Bedeutung, weil bloße lineare Ordnung, und d. h. bloße Reihenfolge (ohne Ende) nicht zwangsläufig schon auch Abzählbarkeit nach sich zieht. Die Unendlichkeit einer „bloßen“ unendlichen Reihenfolge wäre die Unendlichkeit einer Strichchenfolge, und das ist eine andere Unendlichkeit als die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen.

Der Nachweis der Abzählbarkeit einer unendlichen Menge erfolgt so gesehen unter erschwerten Bedingungen. Man kann in diesen Dingen – wie gesagt – also nicht rein umfangsbezogen argumentieren. In der Mathematik wird das vielfach aber gemacht. So wird in diesen Dingen gelegentlich rekursiv etwa argumentiert. Daß eine Menge abzählbar ist, das würde a priori nicht notwendig auch schon bedeuten, daß jede unendliche Teilmenge so einer Menge auch abzählbar ist. Es könnte dabei schließlich das Ordnungsgefüge, so wie es dem begtreffenden Abildungsgeschehen zugrunde liegt,  aus den Fugen geraten. Es bedarf der Bijektion so einer Teilmenge mit der Menge der natürlichen Zahlen, und diesbezüglich wird sich nicht einfach mit dem Instrumentarium der Einschränkung arbeiten lassen.  

Das sind alles abbildungstechnische Fragen. Die bloße Umfangsebene greift in diesen Dingen zu kurz bzw. – besser – zu flach. Das gilt in beiden Richtungen, zum einen also bei Einschränkungen wie auch zum anderen bei Erweiterungen. Abzählbar-Unendliches plus Abzählbar-Unendliches muß so gesehen ebenso wenig notwendig Abzählbar-Unendliches zum Ergebnis haben, auch wenn das lehrbuchgemäß in der Mathematik so vertreten wird. Ordnung plus Ordnung ist mit anderen Worten nicht gleich – übergeordnete, und darauf kommt es an –  Ordnung. Da werden die Karten dann schon wieder neu gemischt.

Umgekehrt sollte man bei der Operation „Einschränkung von Ordnung“  etwas vorsichtig sein. Es gibt schließlich auch nicht den begriff der Teilordnung, genauso wenig wie man auch von Teilabbildung reden  kann. Diesbezüglich gibt es keine Automatismen. Unabhängig davon gilt, daß sich die Kontinuumshypothese an der Frage nach möglichen – bestimmten – Teilmengenbildungen  innerhalb der Menge der irrationalen Zahlen entscheidet. Bis einschließlich der rationalen Zahlen sind wir auf jeden Fall im grünen Bereich. Das gilt auch noch für alles an Ergänzungen von endlichen Teilmengen aus der Menge der irrationalen Zahlen. Es geht in dieser Frage um die – wenn man so will – „unendliche Schnittstelle“ in dieser Menge. Konstruktiv wird sich so eine Stelle nicht finden lassen. Wir haben hierfür – wie gesagt – keine Kriterien. Wenn wir dabei unserer Phantasie auch noch so freien Lauf lassen, über Abzählbares kommen wir auf diese Weise nicht hinaus. Das gilt für jedes Verfahren, das sich nicht auch eines Grenzüberganges bedient, eines – im Vergleich zur Produktion der irrationalen resp. reellen Zahlen als Ganzes – kleinen Grenzüberganges sozusagen. In Frage käme dabei nur eine Modifikation dieses Verfahrens zur Produktion aller dieser Zahlen.

An was könnte dabei gedacht werden? Eine Möglichkeit wäre, auf die Möglichkeit des wiederholten Setzens ein und desselben Zeichens innerhalb einer Zeichenfolge zu verzichten. Damit kämen wir nicht weit. Diese Modifizierungen müssen Teil des Regelwerkes sein. Verzichtet werden könnte beispielsweise auf die Null in der Funktion, die diese im – ganzen – Verfahren hat. Das würde aber auch nichts bringen, einfach weil davon keine unendlichen Zeichenfolgen erfasst sein könnten. Zeichenfolgen mit unendlich vielen Nullen spielen in den Bruchkomponenten von Brüchen, und darauf kommt es bei den irrationalen Zahlen schließlich an, keine Rolle. Entweder solche Nullen tragen nichts zum Zahlenwert bei, oder sie arten in die bloße Nullfolge, also Bruchkomponente Null aus.

Gegenüber der “maximalen Produktion“ von Zeichenfolgen kann jedes modifizierte Verfahren nur aus einer minderen Produktion, und d. h. aus einer Produktion, die bestimmte Zeichenfolgen einfach ausläßt, bestehen. So etwas kann aber auch nur in regulärer Weise geschehen. Es muß erklärt sein, wann welches Element auszulassen ist, und bei unendlichen Mengen kann so etwas nur in regulärer Weise geschehen. Mann könnte auch sagen, daß sich das alles streng periodisch abspielen würde. Feststeht aber auch, daß sich so ein Verfahrenselement dann auch im Unendlichen, und d. h. im Vollzug des Grenzüberganges fortsetzt, genauso wie wir das mit der Koppelung dieses Verfahrens haben. Die besteht schließlich unverändert auch im Unendlichen fort, und berechtigt uns – wie wir wissen – von der Grenzwertmenge dieses Verfahrens als der Menge der reellen Zahlen zu sprechen.

Fest steht weiter auch, daß auf diese Weise eine nicht nur unendliche, sondern auch nicht-abzählbar unendliche  Menge ausgekoppelt wird, wenn die ungeschmälerte Produktion auch zu so einer Menge führt. Das kann sich dann nicht in Periodisches und Nicht-Periodisches aufspalten. Das muß aus Symmetriegründen schon so sein, schließlich können wir das reduzierte Verfahren als originäres Verfahren und das an sich reguläre Verfahren dann als erweitertes Verfahren ansehen.  Da gibt es dann auch keinen Qualitätssprung bzw. Qualitätsverlust in Sachen Unendlichkeit. Dementsprechend sind reduzierte und reguläre Mengen auch numerisch äquivalent. Das ist in diesem Fall im Prinzip nicht anders als wie beim Nachweis dessen, daß es genauso viele Quadratzahlen wie „einfache“ natürliche Zahlen gibt. Das verwischt sich alles im Unendlichen. Es spielt dann einfach keine Rolle, daß die Menge immer – weiter – etwas hinter der anderen zurückbleibt.

Der konstruktive Ansatz ist somit eindeutig als nicht-praktikabel nachgewiesen. Operative Darstellungen sind konstruktiver Art und deswegen auch abzählbar. Das gleiche gilt für allgemeine Eigenschaften. Die müssen alle auch erst festgelegt sein. In der Darstellung als Zeichenfolge jeder einzelnen natürlichen Zahl, die dieser Eigenschaft genügt, müßte sich das dann auch widerspiegeln. Es sind schließlich diese Zeichenfolgen, die – letztlich – über diese Eigenschaft verfügen. Alle diese nicht-periodisch unendlichen Zeichenfolgen müßten etwas gemeinsam haben, etwas, was sich feststellen und dann auch in Regeln fassen ließe. Solche Regeln können aber wie gesehen nicht der Begründung von Nicht-Abzählbar-Unendlichem dienen. Auf Regelniveau bewegen wir uns immer im konstruktiven und damit auch abzählbaren Bereich.

Nicht-periodisch unendlich könnte man dagegen auch mit „völlig irregulär“ übersetzen. Formal Definiertes in Bezug auf unendliche Reihenfolge, das die ganze Folge miteinschließt,  so einer Folge also nicht ab einem bestimmten Punkt freien Lauf in – zwangsläufig dann auch nur – Periodisches läßt, kann sich nur auf regelmäßig Wiederkehrendes beziehen. Man kann dann auch nur von der – wenn man so will – leeren Folge als reiner Nullfolge, also der ausschließlich mit Nullen besetzten unendlichen Folge ausgehen, um diese dann nach einem bestimmten Regelwerk aufzufüllen. Systematisch haben wir das an der Entwicklung aller nur möglichen 0-1-Folgen demonstriert. Abgeschlossen werden kann dieses  Verfahren dann aber auch nur im Grenz(-übergangs)verfahren. Nur so kann es zu Besetzungen auch im Unendlichen kommen, und nur so auch bilden sich notwendig dann auch nicht-periodisch unendliche Zeichenfolgen heraus. Da stört dann auch das Regelwerk nicht mehr. Nur in einem bestehenden Regelwerk können auch Grenzübergänge stattfinden.

Grenzübergänge finden statt als in bestimmte algebraische Ausdrücke (Terme) verpackte Operationen . Der ganzen Anlage nach – und d. h. von Natur aus gewissermaßen – ist so etwas auf Abzählbarkeit angelegt. Die Folgenglieder einer unendlichen Folge sind – von Definitions wegen – auch abzählbar. Anders verhält es sich bei den unendlich vielen Stellen einer unendlichen Zeichenfolge, und anders verhält es sich offenbar auch mit der Gesamtheit aller solcher Folgen. Im Unendlichen – und nur im Unendlichen – wird es irregulär. Herange- führt an diese Irregularität kann aber auch nur auf dem regulären Wege: . Innerhalb dieses Verfahrens kann dann aber auch nicht weiter differenziert werden.

Wir müssen und können dieses Verfahren in allem nur so nehmen wie es ist. Damit ist dann aber auch die Existenz von nicht-abzählbaren Teilmengen innerhalb der Menge aller nicht-periodisch unendlichen Zeichenfolgen nach menschlichem Ermessen Dem endlichen menschlichen Verstand nach gibt es solche Teilmengen jedenfalls nicht. Inwieweit sich das in einem anderen, qualitativ höherwertigen, also unendlichen bzw. göttlichen Verstand anders darstellt, diese Frage ist deswegen allerdings nicht auch schon in gleicher Weise abschlägig beschieden.