2.  Periodisches und Nicht-Periodisches

 

 

  I. Unserer Wahrnehmung nach ist das Verfahren nichts, und das Produkt alles. Es zählt in dieser Wahrnehmung immer nur das, was dabei „herauskommt“. Das ist vielleicht – bzw. sicher – nicht typisch für die Mathematik; in Fragen von Zahldarstellung hat man das aber so. Ansonsten wird im ganzen Abbildungsgeschehen – und die ganze Mathematik ist letztlich Abbildungstheorie – natürlich (im einzelnen) auch auf die Abbildung gesehen. Es wird dabei nicht einfach nur auf Bild geschaut. Das wäre dann der Graph etwa einer – reellwertigen – Funktion. In diesen Fällen ergibt sich im allgemeinen auch ein sehr anschauliches Bild. Ist so eine Funktion nicht beschränkt, dann werden wir allerdings nie auch ein vollständiges – materielles – Bild des Graphen so einer Funktion realisieren können. Wir können uns diesen Graphen dann auch nur in  Gedanken vorstellen.

Die Funktion(-svorschrift) als solche garantiert auch die Existenz des – vollständigen – Bildes. Jedenfalls stellen wir uns das so vor. Materielle Reproduzierbarkeit ist jedenfalls keine Bedingung für Existenz. Funktionen ist ihr Bild inhärent. Die Vorschrift beinhaltet zugleich auch den Vollzug, sofern dieser Vollzug auch gewünscht ist. Wir müssen uns so eine Funktion schon – auch – noch vollzogen denken, wenn wir sie – auch – vollzogen haben wollen. Das ist dann aber auch schon alles. Mehr können wir nicht tun, und mehr haben wir auch nicht zu tun. Nun darf das Bild einer Funktion nicht einfach mit dem Graphen derselben im herkömmlichen Sinne verwechselt werden. Graphen dienen nur der Veranschaulichung von Funktionen; sie haben mit der Funktion als solcher nichts zu tun. Funktionen handeln zwischen Mengen. Sie ordnen den Elementen einer Menge jeweils genau ein Element aus einer anderen Menge zu. Mit irgendwelchen geometrischen Gebilden hat das nichts zu tun. Reell(-wertige) Funktionen bilden von  bzw. – zusammenhängende – Teilmengen davon ab. Die Existenz von Funktionen ist insoweit auch an die Existenz des Körpers der reellen Zahlen  gebunden. Die Funktionsvorschrift dagegen besteht im allgemeinen aus einem endlichen Term elementarer algebraischer Operationen. Existenzvorbehalte können diesbezüglich nicht geltend gemacht werden. Mit dem Körper der reellen Zahlen  als Definitions- und Bildbereich reellwertiger Funktionen ist das – wie gesagt – ganz anders. Ist die Existenz von  in Frage gestellt, gilt das – umso mehr – natürlich auch für Funktionen auf diesem Körper in diesen Körper.

Wie sieht es also um die Existenz von  aus? Eigenschaft allein bürgt nicht auch für Existenz. Eine Menge als Menge von Elementen mit einer bestimmten Eigenschaft beschreiben, heißt nicht schon auch, daß es eine Menge mit dieser Art von Elementen auch geben muß. Irrationale Zahlen beispielsweise und insbesondere gibt es nicht deswegen, weil wir eine Vorstellung davon haben, wie sie auszusehen haben. Wir brauchen, wenn es um eine unendliche Menge geht, in jedem Fall auch das Verfahren, das so eine Menge auch – erst – hervorbringt. Die Frage wäre jetzt nur, inwieweit dann – noch – eine sozusagen statische Behandlung so einer – einmal produzierten – Menge möglich ist. Die Frage wäre also die, ob diese verfahrensbezogene Abhängigkeit unendlicher Mengen eine permanente oder eine nur momentane ist, und d. h. ob eine Beschäftigung mit solchen Mengen außerhalb dieses Verfahrens möglich ist oder nicht. Kann man sich so eine Menge von so einem Verfahren einfach nur – einmal – (ge-)geben (sein) lassen, um sich anschließend nur noch mit dieser Menge, nicht mehr aber auch mit diesem Verfahren zu beschäftigen?

Das wäre schon etwas mehr als es in der Mathematik der Brauch ist; es wäre aber bei weitem noch nicht das, was eine wesenhafte Verfahrensabhängigkeit begründen könnte. Immerhin, es wäre schon etwas, wird doch in der Mathematik auf dieses Verfahren überhaupt nicht gesehen. Das geht alles dann einfach in der „Gegebenheits-Floskel“ unter. Beschränken wir uns in unseren Überlegungen zunächst auf die natürlichen Zahlen. In ihrer Gesamtheit kommen wir an diese Zahlen nur über das besagte, klassische Verfahren zur Darstellung dieser Zahlen heran. Man kann sich schon auch mit Teilmengen aus dieser Menge der natürlichen Zahlen beschäftigen. Wenn es sich dabei um eine unendliche Menge handelt – und nur solche Mengen sind auch mathematisch interessante Mengen – dann brauchen wir auch dazu wieder das Verfahren, das diese (Teil-)menge hervorbringt. In der Beschäftigung mit so einer Menge wird man allerdings nicht auf das (Produktions-)verfahren sehen (wollen). Im Hintergrund sozusagen ist dieses Verfahren allerdings immer präsent. Dieses Verfahren ist nun einmal für die Existenz der natürlichen  Zahlen – und mithin auch für alle deren unendliche Teilmengen – konstitutiv.

Das hindert uns offenbar aber nicht, uns mit diesen Zahlen resp. Teilmengen statisch zu beschäftigen. Solange Zahlen nicht produziert sind, kann man sich mit ihnen auch nicht beschäftigen. Das gilt natürlich umso mehr für den Fall, daß eine Menge nicht erst produziert werden könnte, einfach weil dafür das Verfahren fehlt. Eine Beschäftigung mit solchen, per Eigenschaft allein definierter Mengen machte dann auch keinen Sinn. Mit Dingen, die es nicht gibt, kann man sich auch in der Mathematik sinnvollerweise nicht gut beschäftigen, auch wenn so eine Beschäftigung stattfinden könnte, einfach weil  es in der Mathematik nicht auf – explizite – materielle Präsenz ankommt. Darauf wird in der Mathematik einfach nicht immer auch geachtet, bzw. es wird dem keine – entscheidende – Bedeutung beigemessen. Immerhin wird bei axiomatischen Begründungen schon auch noch ein Existenz- bzw. Eindeutigkeitsbeweis verlangt. Man möchte dann schon wissen, ob es auch etwas von dieser Art gibt, und zwar – zweckmäßigerweise – auch nur ein – einziges – Mal, und d. h. in mathematischer Sprache: „genau einmal“ gibt. In vielen anderen Dingen ist man da in der Mathematik aber nachlässiger. Aber auch diese Existenzbeweise sind im allgemeinen auch keine Beweise.

Die Mathematik pflegt insgesamt einen ziemlich unproblematischen Umgang mit Unendlichem. Da ist dann schon einmal beispielsweise etwa von der Menge aller rationalen Cauchy-Folgen die Rede, ohne auch nur ein Wort darüber zu verlieren, wie man an alle diese Folgen auch herankommt. Die Eigenschaft steht dann zugleich auch für Existenz. Es gibt – letztlich – nur einen Weg, der auch – sicher – ins Unendliche führt: das Verfahren zur Darstellung resp. Produktion der natürlichen Zahlen. Das Äquivalenzklassen-Modell aus Philosophie und Mathematik versagt im Unendlichen. Demzufolge können auch unendliche Teilmengen der natürlichen Zahlen nur aus einem entsprechend modifizierten Verfahren hervorgehen. Was die natürlichen Quadratzahlen anbelangt, sieht das Verfahren eben so aus, daß jede natürliche Zahl dann einfach zum Quadrat genommen wird. Da wird dann einfach noch eine Operation resp. Verknüpfung nachgeschoben. Es handelt sich dabei – schon auch – um eine reguläre mathematische Aktion.

Das Verfahren zur Darstellung der natürlichen Zahlen selbst ist dagegen vormathematischer Natur. Es hat dieses Verfahren nichts mit Addition, Multiplikation und dergleichen zu tun. Dieses Verfahren ist ein Kombinationsverfahren, auch wenn es nicht unter die klassische mathematische Kombinatorik fällt. Dieses Verfahren hat schon etwas ganz Eigenes (für sich).  Es versorgt die Mathematik mit dem Stoff, mit dem diese dann zu arbeiten hat. Präsent ist dieses Verfahren in der Mathematik selbst nicht. Es liegt der mathematischen Beschäftigung voraus, indem es diese erst möglich macht. So gesehen könnte man die ganze Mathematik als Beweis dafür ansehen, daß dieses Verfahren nur der Materialbeschaffung dient. In der Beschäftigung damit gestaltet sich – so wie es aussieht – die Mathematik unabhängig von diesem Verfahren. Es wird weder am Anfang, noch später zum Thema gemacht. Kann es auch nicht, ist doch – wie gesagt – dieses Verfahren ohne jede eigene mathematische Qualität. Da ist verfahrensbedingt einfach für eine – strikte – Trennung gesorgt.

Nun ließe sich an diesem – einen – Verfahren schon das eine oder andere modifizieren. Es könne sich dabei aber allesamt nur um Reduktionen des Verfahrens, und d. h. Verfahrensmodifikationen , die nicht ausschöpfen, was uns das Verfahren bieten kann, handeln. Dieses Verfahren ist ein optimiertes Verfahren in dem Sinne, daß darin alles an endlichen Zeichenkombinationen ausgeschöpft wird, was sich an Zeichenkombinationen aus einer beliebig vorzugebenden endlichen und in Reihenfolge geordneten Menge von Zeichen ausschöpfen läßt. Modifikationen dieses Verfahrens begnügen sich dann – zwangsläufig – mit weniger. Dann werden einfach – systematisch – bestimmte – Folgen von – Zeichenfolgen ausgeblendet. Dann nimmt man beispielsweise etwa nur Quadratzahlen. Man könnte beispielsweise auch jede dritte – reguläre – Zeichenfolge auslassen. Der Möglichkeiten gibt es da viele. In Erwägung gezogen werden sollten dabei aber nur – echte – Verfahrensmodifikationen, und d. h. Modifikationen auf der vormathematischen Verfahrensebene. Das wären dann alles Veränderungen, die sich einer mathematischen Beschreibung entziehen. Die Menge der Quadratzahlen läßt sich dagegen schon funktional als Abbildung von  erfassen.

Variationen bzw. Modifikationen im Verfahren selbst lassen sich so natürlich nicht beschreiben, wie sich das Verfahren als solches auch jeder Formalisierung entzieht. Wir bewegen uns mit diesem Verfahren wie gesagt einfach im vormathematischen, und insoweit auch im vorformalen Bereich. Wir bewegen uns damit einfach im Bereich der Produktion der natürlichen Zahlen. Dann kann man einfach nicht so tun, als gäbe es diese Zahlen schon. Die Beschreibung bzw. Analyse dieses Verfahrens ist dann notwendig prosaischer Natur. Wir bewegen uns damit aber auch auf einer Ebene, die an den Zahlen näher „dran“ ist.

 

  II. Die Frage der Existenz von Zahlen bzw. Zahlbereichserweiterungen ist immer auch eine Frage ihrer Darstellbarkeit. Grenzen und Möglichkeiten dieser Darstellung bestimmen auch Umfang und Art solcher möglichen Erweiterungen. Die Grenzen und Möglichkeiten dieses Systems sind mit den reellen Zahlen auch ausgereizt und ausgeschöpft. In diesem System ist einfach kein Platz mehr für weiteres Zahlenmaterial, und damit kann es auch keine weiteren Zahlen geben. Schließlich kann es auch zu keinem Systemwechsel kommen. Damit wäre dann ein Neuanfang verbunden. Erweiterungen lassen sich auf diesem Wege nicht einrichten. Erweiterungen setzen voraus, daß sich die zu erweiternde Menge – nahtlos – auch in die Erweiterungsmenge einfügt. Das muß alles dann einfach nur fortgeschrieben werden können. Erweiterungen können damit auch nur auf dem bereits vorliegenden Material aufbauen.

Insbesondere heißt das, daß dabei auch nur mit dem vorgegebenen bzw. vorzugebenden endlich vielen Zeichen, so wie wir sie zur Darstellung der natürlichen Zahlen heranziehen, gearbeitet werden kann. Neu an dem System von Erweiterung der natürlichen Zahlen, so wie sie Gegenstand eines konstruktiven Zahlenaufbaues sind, ist nur die Einbeziehung auch unendlicher Zeichenfolgen als Bruchkomponente von Brüchen. Das ist neu. Solche Bruchkomponenten repräsentieren auch keine natürliche Zahl mehr. So gesehen fallen solche Brüche aus dem System – schon – heraus. Die Möglichkeit der Fortschreibung wird in diesem Fall von einem System von Gewichtungen getragen, die uns auch solche Folgen mit einem endlichen Zahlenwert verknüpft sein läßt.

Was uns dieses System von Gewichtungen nicht beantwortet, das ist die Frage der Existenz auch solcher unendlicher Zeichenfolgen. Als einer unendlichen Zeichenfolge brauchen wir dafür in jedem Fall auch das – explizit oder implizit – Verfahren. Wir können eine solche Folge nicht nach Belieben Zeichen für Zeichen selbst produzieren wollen. Das gilt auch für periodisch unendliche Zeichenfolgen, auch wenn sich in diesem Fall sofort auch das Verfahren, das eine solche Folge produziert, angeben läßt. Das Programm besteht dann schlicht und einfach darin, die – endliche – Periode einfach endlos zu wiederholen.

Ganz anders sieht das bei nicht-periodisch unendlichen Zeichenfolgen aus. Über die Abfolge der Zeichen so einer Zeichenfolge können wir nichts sagen. Wüßten wir nicht, daß es solche Zeichenfolgen geben muß, einfach weil bestimmte Bruchentwicklungen nicht periodisch sein können,  dann wüssten wir nicht einmal, ob mit dem Begriff der Nicht-Periodizität auch ein widerspruchsfrei definiertes Konzept vorliegt. Das wäre a priori alles andere als klar. Es genügt, wenn die Existenz einer solchen Bruchentwicklung resp. Zeichenfolge nachgewiesen ist, um damit zugleich auch die Widerspruchsfreiheit dieses Konzeptes zu belegen. Exemplarisch – wenn auch aus anderen Gründen – wird das in Analysis-Lehrbüchern immer an der Quadratwurzel aus 2:  gezeigt.

Wie das mit der Abfolge der Zeichen so einer Zeichenfolge ist, darüber können wir allerdings überhaupt nichts sagen. Wir können so eine Zeichenfolge zu kleinen Teilen rekonstruieren. In die Rekonstruktion ausgewählter, weil besonders bedeutsamer Zeichenfolgen dieser Art wie beispielsweise und insbesondere der (Kreis-)zahl  wird auch viel Mühe verwandt. Da werden dann immer auch neue Rekorde vermeldet, auch wenn das mathematisch völlig belanglos ist. Die Bruchkomponenten nicht-periodisch unendlicher Brüche sind in ihren Zeichenfolgen nicht rekonstruierbar.

Das ist eine etwas andere Art von Nicht-Rekonstruierbarkeit als wir sie bei Grenzwert(-verfahr)en haben. Dort ist es so, daß wir einfach nicht nachkommen. Eine unendliche Zeichenfolge läßt sich nicht Zeichen für Zeichen nachbilden. In diesem Fall hilft nur der Vollzug „auf einen Schlag“. Dann werden eben – die – unendlich viele(n) Zeichen so einer Zeichenfolge auf einmal gesetzt. Welcher Art bzw. welcher Abfolge diese Zeichen sind, hat dabei nichts zu besagen. Das kommt – erst – noch erschwerend bei nicht-periodisch unendlichen Zeichenfolgen hinzu. Wir können der Unendlichkeit so einer Zeichenfolge in Verbindung mit einem dazu ständig erforderlichen Programmwechsel wegen für so eine Zeichenfolge auch kein Programm entwickeln. Mit nicht-periodisch gemeint ist nur, daß sich eine bestimmte – endliche – Zeichenfolge nicht einfach immer nur wiederholt. Von daher möchte man meinen, wäre es auch sehr einfach, nicht-periodisch unendliche Zeichenfolgen zu entwickeln.

Im endlichen Bereich wäre das sicherlich auch kein Problem, auch wenn Endlichem bekanntlich nach oben keine Grenze gesetzt ist. Das betrifft allerdings nur das Reservoir an möglichen Endlichkeiten. Die einzelne endliche Zeichenfolge verfügt natürlich über so eine Grenze. Man könnte also jederzeit problemlos in die Entwicklung einer Zeichenfolge einsteigen und diese so gestalten, daß es zu keiner Periodizität kommen kann. Man bräuchte dazu beispielsweise immer nur ein und dasselbe Zeichen wiederholen und einzig und allein beim letzten Zeichen variieren. Periodizität ist eine sehr starke Bedingung an eine Folge. Periodizitäten müssen allerdings nicht auch von Anfang an vorliegen. Es gibt Bruchentwicklungen, die erst ab einer bestimmten Stelle periodisch werden. Als periodisch gelten solche Brüche insgesamt aber auch. Auf anfängliche Nicht-Periodizitäten kommt es dabei also nicht an. Die sind gestattet.

Eine periodische Entwicklung läßt sich im Nachhinein auch sehr leicht zerstören. Es bedarf dazu nur der Auswechslung eines einzigen Zeichens innerhalb des – unendlichen – periodischen Teiles. Sehr viel schwieriger ist es schon, eine periodische Entwicklung zu verhindern. Irgendwann müssen wir der Entwicklung einer unendlichen Zeichenfolge freien Lauf lassen. Wir können so eine Zeichenfolge – wie gesagt – nicht individuell und punktuell Zeichen für Zeichen nach freiem Gutdünken besetzen wollen. Wir müssen so etwas dann schon immer auch einem geordneten Verfahren überlassen. Und da setzen dann natürlich die Schwierigkeiten ein.

Bei periodischer Entwicklung gestaltet sich so ein Verfahren denkbar einfach. Das ganze Verfahren besteht dann einfach darin, eine endliche Zeichenfolge immer wieder nur aufs neue zu wiederholen. Bei nicht-periodischen Folgen geht das so einfach natürlich nicht. Wir können periodische Zeichenfolgen auch nicht einfach in nicht-periodische Folgen umwandeln. Punktuelle Eingriffe an endlich vielen Stellen tun es dabei nicht, nachdem endliche – anfängliche – Bereiche nicht über Periodizität oder Nicht-Periodizität entscheiden. Das entscheidet sich alles im Unendlichen ab, und daran könnte auch wieder nur Unendliches –  ein unendliches Verfahren nämlich –  etwas (ver-)ändern.  So etwas läßt sich auch – nur – im Rahmen eines geordneten Verfahrens, so wie das – mathematische – Verfahren an sich haben, einrichten Nicht-Periodisch bedeutet nicht schon auch irregulär bzw. „ohne jede Ordnung“. Dazwischen gibt es Abstufungen. Dafür ist Periodizität einfach eine zu starke Bedingung als daß die Verletzung von Periodizität nicht auch noch einer mathematischen Beschreibung zugänglich sein könnte. Richtig daran ist, daß wir auf diese Weise aber auch nur an recht einfach – eben auch noch mathematisch-regulär – strukturierte nicht-periodische Folgen herankommen.

Die Gesamtheit aller nicht-periodischen Entwicklungen erreichen wir auf diese Weise aber nicht. Völlig belanglos sind in diesem Zusammenhang punktuelle Eingriffe, die uns natürlich immer offen stehen, und bei denen sich auch nach Belieben – also völlig form- bzw. „verfahrenslos“ variieren ließe. Das muß nicht mit System geschehen, auch wenn die systematische Ausschöpfung aller Möglichkeiten auch in diesem begrenzten endlichen Rahmen nicht ohne systematisches Vorgehen möglich sein wird, und sei es nur zum Nachweis dafür, daß auch alle Möglichkeiten ausgeschöpft wurden. Im Unendlichen bedarf dagegen die Realisierung jeder einzelnen, wenn auch noch so einfachen Variation des – systematischen – Verfahrens(-werkes), nicht zu reden von der systematischen Erfassung aller diesbezüglichen Möglichkeiten. Eine solche Erfassung wird sich im Rahmen regulärer mathematischer Beschreibung nicht – mehr – realisieren lassen. Es gibt das – mathematische – Verfahren, das uns – systematisch – an alle möglichen Nicht-Periodizitäten heranführen könnte, nicht. Das macht allein das Verfahren zur Produktion resp. Darstellung der natürlichen Zahlen, wenn man dieses Verfahren über alle Grenzen hinaus, und d. h. in seiner Grenzübergangsqualität entwickelt sein läßt.

Da ist dann auch nichts mehr mit – bloßer – (Ab-)änderung periodischer Entwicklungen. Das ist dann schon eine – ganz – eigene Geschichte. Die Menge aller periodischen Entwicklungen  ist völlig überschaubar, auch wenn es sich dabei auch schon um eine unendliche Menge handelt. Es gibt genauso viele mögliche Perioden als es natürliche Zahlen gibt. Und der – mögliche – nicht-periodische Teil einer Bruchentwicklung vorneweg wird als endlicher Teil auch – formal – durch eine natürliche Zahl repräsentiert. Die Menge aller periodischen Brüche ist so gesehen durch das kartesische Produkt  dargestellt. Das ist eine überschaubare Angelegenheit. Läßt sich von dieser Basis aus aber auch systematisch an die Menge aller nicht-periodischen Brüche heranführen?

 

  III.  Für die Menge nicht-periodischer (Bruch-)entwicklungen gibt es keine Formel, so wie sie gerade für den periodischen Fall gegeben wurde, gibt. Nicht-Periodizität ist einfach etwas, was sich nicht formalisieren läßt. Es gibt dafür schließlich auch kein positives Kriterium. Nicht-Periodizität ist eine negative Eigenschaft in dem Sinne, daß sie – nur – das Fehlen von etwas Bestimmten konstatiert. Es wird dabei einfach nur das Fehlen einer gewissen Ordnung festgehalten. Es gibt an Nicht-Periodizität nichts, an das man sich festhalten könnte. Erlaubt ist alles, es darf nur nicht in die permanente Wiederholung von immer wieder ein und demselben ausarten.

Dieser Bedingung sollte an sich leicht zu genügen sein. Das Problem dabei ist nur, daß wir das im Unendlichen nicht – mehr – überwachen können. Die Produktion von Unendlichem bleibt immer einem bestimmten Verfahren überlassen, und dieses Verfahren haben wir dann einfach tun zu lassen, was dieses Verfahren zu tun vermag. Und dann ist es – weiterhin –  bei Unendlichem natürlich immer auch so, daß die ganze Entwicklung nur auf einmal vollzogen werden kann. Schritt für Schritt, und d. h. Zeichen für Zeichen geht da nichts, wenn damit gemeint sein soll, daß die Entscheidung darüber, was als nächstes Zeichen gesetzt sein soll, immer auch erst Zeichen für Zeichen zu treffen wäre. Das funktioniert so nicht. Wir kämen dabei nie über Unendliches hinaus. Das Verfahren muß vielmehr von Anfang an, in allem, was es leistet, festgelegt sein. Das würde bedeuten, daß dem Verfahren auch ein Programm zugrunde liegt, in dem das alles auch schon festgelegt ist. Wie kann so ein Programm aber aussehen?

Das Programm sieht sicherlich nicht so aus, daß eine förmliche Folge, und d. h. Abbildung von – im Dezimalsystem –  vorliegen würde, die genau beschreibt, wie – in fortlaufender Reihenfolge – die einzelnen Bruchstellen zu besetzen sind. Eine solche Folge resp. Abbildung gibt es nicht, wie im übrigen für diese Zwecke, und d. h. für Besetzungen einer unendlichen Zeichenfolge die natürlichen Zahlen auch nicht ausreichten. Und dann wäre im Einzelfall immer auch noch zu klären, ob die jeweilige Entwicklung eine nicht-periodische ist oder nicht.  Das würde man so einer Folge nicht a priori auch schon ansehen (können). So etwas läßt sich schließlich auch nicht an Hand der vollständig entwickelten Folge überprüfen. Wir werden eine unendliche Zeichenfolgen nie vollständig zu Gesicht bekommen können.

Man wird sich – materiell – nie ein Bild von so einer Folge machen können. Wir können sie nie vollständig aufschreiben, aber auch nicht – von einer Maschine oder so – aufschreiben lassen. Deswegen läßt sich alles an Eigenschaften, die sich auf die Folge als Ganzes beziehen, immer nur indirekt nachweisen. Die Nicht-Periodizität so einer Folge zeigt man dann eben so, daß man die Annahme ihrer Periodizität zu einem Widerspruch führt. Zu zeigen ist dann, daß sich so eine Bruchentwicklung nicht auch als  ganzer Zahlen  schreiben läßt. Kenntnis von nicht-periodischen Bruchentwicklungen können wir also nur auf Umwegen erlangen, und dann ist immer auch erst nachzuweisen, daß so eine Entwicklung tatsächlich auch nicht-periodisch ist.

Wünsche, was so eine nicht-periodische Entwicklung anbelangt, können wir nie anmelden. Wir können auch keine solche Entwicklung programmieren. Wir können also nicht sagen, wie wir uns das mit der Abfolge der Zeichen im einzelnen wünschen. Auch als förmliche Abbildung läßt sich so etwas – wie gesagt – nicht einrichten. Ansonsten birgt jeder andere Versuch der Programmierung so einer Folge die Gefahr des Abgleitens ins Periodische in sich. Was könnte man sich diesbezüglich alles auch vorstellen? Eingebaut sein müßte in so ein Programm eine Sicherung, die gerade dieser Gefahr vorbeugt. Gedacht werden könnte dabei beispielsweise an ein Programm, das eine bestimmte Periode zunehmend öfter wiederholt,  nachdem gerade wieder ein bestimmtes – vorzugsweise auch immer das gleiche – Zeichen gesetzt worden ist.

Periodisch wäre so eine Entwicklung nicht. Man kann dabei auch in der Periode wechseln, und man kann das ganze auch etwas „ausschmücken“. Das, was dazwischengeschaltet wird, läßt sich durchaus auch komplexer gestalten, genauso wie es nicht immer auch zur Wiederholung desselben periodischen Elementes kommen muß. Da gibt es  Variationsmöglichkeiten. Immer haben wir es in diesen Fällen aber mit einem geordneten, regulären Vorgehen zu tun. Es besteht in der ganzen Gestaltung der einzelnen Elemente sowie ihrer Zusammenführung eine Abhängigkeit von den natürlichen Zahlen. Es muß in so einem Programm festgelegt sein, wie sich die daraus zu entwickelnde Folge aufbaut. Es muß aus diesem Programm hervorgehen, wie die Abfolge der einzelnen Zeichen ist. Wir können keine Einzelfestlegung für die einzelnen Zeichen treffen (wollen), es sei denn, es soll immer nur zur Wiederholung ein und desselben Zeichens kommen. Dann aber würde sich eine Einzelfestlegung, die immer wieder auch aufs neue – erst – zu treffen wäre, erübrigen.

Einzelfestlegung meint, daß die Entscheidung darüber, was als nächstes Zeichen zu setzen ist, immer wieder – erst – aufs neue zu treffen ist, und d. h. insbesondere unabhängig von allem bisher Gewesenen sowie auch von allem – noch – Nachfolgendem vorgenommen zu werden hat. Das geht nicht. Es muß da schon in größeren Blöcken, will heißen Einheiten gedacht und gearbeitet werden.  Es muß einfach so sein, daß eben nicht immer wieder aufs neue zu entscheiden ist, wie es weitergehen soll. Das muß alles vorab schon geklärt sein. Geklärt sein kann das aber nur im Medium der – Reihenfolge der – natürlichen Zahlen. Dann aber kann das ganze auch nur System haben.

Es muß das alles einer bestimmten Ordnung folgen, einer Ordnung, die – letztlich – immer die Ordnung der natürlichen Zahlen ist. Es kann dann immer nur abgezählt bzw. nachgezählt werden, und abgezählt  resp. nachgezählt wird grundsätzlich nur nach den natürlichen Zahlen. Wir können dann – der Anlagen nach – auch nur auf eine gestörte periodische Entwicklung setzen. Eine unendliche Entwicklung kann von uns nur periodisch angelegt bzw. – besser – grundgelegt sein. Wie läßt sich darauf aufbauend aber zu einer nicht-periodischen Entwicklung finden? Das läßt sich nur so einrichten, daß man ein Begleitprogramm entwickelt, das uns aufbauend auf der periodischen Entwicklung sagt, was an dieser jeweils zu verändern ist, um zu der gewünschten nicht-periodischen Entwicklung zu gelangen. Das läuft parallel, und zwar tut es das bis zum Ende. Würde es das nicht tun, hieße das der periodischen Entwicklung ab einem bestimmten – notwendig bzw. generell endlichen – Punkt der periodischen Entwicklung ungehinderten freien Lauf zu lassen, und d. h. die periodische Entwicklung periodische Entwicklung sein zu lassen. 

In diesem Begleitprogramm läßt sich variieren und läßt sich kombinieren. Grundlage dieses Programms ist und bleibt dabei die periodische Entwicklung in Form und Gestalt einer immer wiederkehrenden Folge von endlich vielen natürlichen Zahlen aus , wobei die Null in diesem Fall gleichberechtigt neben allen anderen Zeichen steht. Perioden können also durchaus auch – von rechts nach links gelesen – mit 0 beginnen. Das Programm als solches wird sich nur auf Modifikationen an den Perioden im Periodendurchlauf beschränken können, wobei sich diese Modifikationen dabei ihrerseits zu modifizieren haben, soll am Ende so auch Nicht-Periodisches entstehen können. Das alles spielt sich damit notgedrungen in der Ordnung, will heißen Reihenfolge der natürlichen Zahlen, und d. h., es spielt sich im abzählbaren Bereich ab.

Natürlich ergeben sich daraus keine Mengen von größerer Mächtigkeit als der Menge der natürlichen Zahlen. Insbesondere finden wir auf diese Weise nicht zu allen nicht-periodisch unendlichen Zeichenfolgen. Alle „irregulären“ Folgen dieser Art bleiben uns auf diese Weise verschlossen. Zugang zu solchen Folgen finden wir nur über definierende Eigenschaften, so wie sie sich aus – vorzugsweise elementaren – mathematischen Operationen wie etwa Wurzelziehen, Logarithmieren und dgl. ableiten. Als Paradebeispiel darf dabei wieder die Quadratwurzel aus 2:  dienen. Allerdings ist so eine operative Darstellung für sich alleine nicht aussagefähig. Von welcher Zahlenart bzw. Darstellung die Quadratwurzel aus 2 und dgl. ist, das ist immer erst zu analysieren. Auch in diesem Fall erschließt sich uns der Zugang zu nicht-periodisch Unendlichem nur über Umwege. Allerdings finden wir auf diesem Wege schon auch zu sozusagen irregulärem Nicht-Periodischen, soweit uns jedenfalls auch der entsprechende Nachweis auch gelingt.  und  sind offenbar aber nicht von der vorhin beschriebenen einfachen Bauart, und d. h. sie leiten sich nicht einfach aus Periodischem ab.

Aber was kann man dazu schon aus ersten Teilstrecken so einer Entwicklung sagen. Im Vergleich zu dem unendlichen Rest ist das alles – unabhängig davon, wie groß der anfängliche endliche Teil auch sein mag – soviel wie nichts. Auch die errechneten Billionen Stellen der Zahl  fallen da nicht  ins Gewicht. Auf jeden Fall haben wir – was immer es damit auch auf sich haben mag – das Programm vorliegen, das bereits die ganze Entwicklung in sich enthält. Was sich explizit so niemals auf den Weg hätte bringen lassen, implizite hat die mathematische Realität damit kein Problem. Wir haben die Zahl 2, und wir wissen, was wir von einer anderen, darauf bezogenen Zahl haben wollen. Dann kann man sich auch Bruchstelle für Bruchstelle an diese Zahl herantasten.

Über eine mögliche Periodizität haben wir uns dabei auch keine Gedanken zu machen. Das läßt sich bereits unabhängig von der expliziten Bruchentwicklung, die notwendig ohnehin auch eine unvollständige ist, und uns die Frage einer möglichen Periodizität deswegen auch nicht entscheiden ließe, sagen. Dieser – vorgängige – Nachweis kann sich mitunter aber auch recht schwierig gestalten. Es gibt dafür auch kein einheitliches Verfahren, im Gegensatz zur Berechnung von Quadratwurzeln, für die auf einen förmlichen Algorithmus zurückgegriffen werden kann. Alternativ kann man sich aber auch immer  über eine Art Intervallschachtelung Bruchstelle für Bruchstelle an so eine Bruchentwicklung herantasten. Eine Form von Algorithmus ist das auch. Natürlich ist man dabei auch offen für nicht-periodische Entwicklungen. Verfahrenstechnisch interessiert das auch nicht, einfach weil das verfahrenstechnisch auch nicht zu entscheiden wäre. Daß  nicht-periodisch ist, das kann uns kein Verfahren und kein Algorithmus sagen. So etwas verlangt nach dem formalen – indirekten – Beweis.

Was  anbelangt, so läßt sich dieser Beweis noch relativ einfach führen, er gehört überdies – zum Nachweis dafür, daß es neben den rationalen Zahlen auch noch anderes geben muß –  zum Standardprogramm jedes Analysis-Lehrbuches. Die rationalen Zahlen engen uns noch viel zu sehr ein; sie ermöglichen uns nicht einmal das – allgemeine bzw. generelle – Ziehen von Quadratwurzelen aus natürlichen Zahlen. Diese Lücken wollen und sollen natürlich geschlossen sein. Dazu bedarf es aber anderer als einfach nur periodischer Entwicklungen. Nicht-periodisch lassen sich Lücken schließen, die periodisch zwangsläufig offen bleiben. Man könnte auch sagen: Nicht-Periodisches kittet das Kontinuum.